設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈u，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x)的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果Mx∩Du≠Ø，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過(guò)u;有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y之間通過(guò)變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱(chēng)為自變量，u為中間變量，y為因變量(即函數(shù))。

判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：

  1.求復(fù)合函數(shù)的定義域;

  2.將復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)常見(jiàn)函數(shù)(一次、二次、冪、指、對(duì)函數(shù));

  3.判斷每個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性;

  4.將中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍;

  5.求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

例如：

  求:函數(shù)f(x)=(3x+2)^3+3的導(dǎo)數(shù)

  設(shè)u=g(x)=3x+2

  f(u)=u^3+3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 

  f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2

  不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有當(dāng)Mx∩Du≠Ø時(shí)，二者才可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。

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